2019牛客多校第一场F – Random Point in Triangle

题目链接:2019牛客多校第一场F

连接三角形的三个顶点与对边的中点,得到三角形的重心$G$,且三角形被分成了面积相等的三个四边形。我们把$P$点落在$ADGE$内$S_{PBC}$的期望记作$E_1$,$P$点落在$BDGF$内$S_{PAC}$的期望记作$E_2$,$P$点落在$CFGE$内$S_{PBA}$的期望记作$E_3$,根据全概率公式:

$$E = \frac{1}{3} E_1 +\frac{1}{3} E_2 +\frac{1}{3} E_3$$

根据对称性,$E_1=E_2=E_3$,所以我们只需要求一个。

这里以四边形$ADGE$为例。要求在四边形$ADGE$内任取一点$P$的$S_{PBC}$的期望,已知底边$BC$,则要求高的期望,$P$点的期望值是四边形$ADGF$的重心,则高的期望就是这个四边形的重心到$BC$的距离。

我们用如下的方法作四边形的重心(四边形重心的求法):

  • 连接一条对角线,使四边形被分成两个三角形
  • 连接两个三角形的重心,取中点,则为四边形的重心

如图,$AH:HG:GF=PQ:OP:CO = 1:1:1$,$HM:MN:NG=1:2:3$,那么可以得到$MF:AF=11:18$,所以$E(S_{PBC}) = \frac{11}{18} S_{ABC}$。

 

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Authur_gycYuweiZhao_empty Recent comment authors
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游客
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大佬画图好精美啊。请教一下用什么画的23333

Authur_gyc
游客
Authur_gyc

举例应该是ADGE而不是ADGF呢

Authur_gyc
游客
Authur_gyc

想问一下:在四边形ADGE区域中,P点的高的期望值即为四边形ADGE的重心到BC边的距离。是定理嘛?