Mobius函数性质证明

Mobius函数具以下重要的性质:

$$\sum_{d|n} \mu (d) = \epsilon (n)$$

即$\mu * 1 = \epsilon$,其中“$*$”运算为左式与右式的Direchlet卷积。

$n = 1$时,显然成立。

$n > 1$时,当$n$有平方因子时,显然成立。没有平方因子时,设$n$有$s$个不同的素因子,对于每一个$d$,$d$中素因子的指数只能是$0$或者$1$。所以

$$ \sum_{d|n} \mu (d) = \sum_{k = 0}^{s} (-1)^k { s \choose k }$$

根据二项式定理

$$(a+b)^n = \sum_{i = 0} ^ {n} {n \choose i} a^i b^{n – i}$$

上式可以化为

$$ \sum_{d|n} \mu (d) = \sum_{k = 0}^{s} (-1)^k { s \choose k } = (1 – 1) ^ s = 0$$

综上,结论成立。证毕。

1
说点什么

avatar
50
1 Comment threads
0 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
0 Comment authors
Recent comment authors
  Subscribe  
最新 最旧 得票最多
提醒
trackback

[…] 其中第一条我在博客中给出过证明:Mobius函数性质证明。第二条和第三条是莫比乌斯反演定理作用下的一对关系。 […]